49В (ЕГЭ 2025). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\({\left( {4x + \left| {x-a} \right|-\left| {3x + 1} \right|} \right)^2}-\left( {a + 1} \right)\left( {4x + \left| {x-a} \right|-\left| {3x + 1} \right|} \right) + 1 = 0\)
имеет ровно два различных корня.
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;-3} \right) \cup \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right).\)
Пусть \(4x + \left| {x-a} \right|-\left| {3x + 1} \right| = t,\) тогда уравнение примет вид: \({t^2}-\left( {a + 1} \right)t + 1 = 0.\) Рассмотрим функцию \(f\left( x \right) = 4x + \left| {x-a} \right|-\left| {3x + 1} \right|,\) которая является непрерывной и неубывающей, так как при раскрытии модулей сумма коэффициентов перед «x»: \(4 \pm 1 \pm 3 \ge 0.\) Следовательно, графиком функции \(f\left( x \right)\) является неубывающая ломаная. Подмодульные выражения равны нулю при \(x = a\) и \(x = -\dfrac{1}{3}.\) При раскрытии модулей коэффициент перед «x» будет равен нулю, только в случае если \(\left| {x-a} \right|\) раскроется со знаком минус (то есть при \(x < a\)), а \(\left| {3x + 1} \right|\) со знаком плюс (то есть при \(x > -\dfrac{1}{3}\)). Следовательно, если \(a > -\dfrac{1}{3}\), то при \(-\dfrac{1}{3} < x < a\) функция \(f\left( x \right)\) примет вид: \(f\left( x \right) = 4x-x + a-3x-1 = a-1.\) Тогда при \(a > -\dfrac{1}{3}\) исходное уравнение будет иметь два решение, если квадратное уравнение \({t^2}-\left( {a + 1} \right)t + 1 = 0\) будет иметь два решения не совпадающие с \(a-1.\) Для этого необходимо выполнения следующих условий: \(\left\{ \begin{array}{l}a > -\dfrac{1}{3},\\D = {\left( {a + 1} \right)^2}-4 > 0,\\{\left( {a-1} \right)^2}-\left( {a + 1} \right)\left( {a-1} \right) + 1 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a > -\dfrac{1}{3},\\\left( {a-1} \right)\left( {a + 3} \right) > 0,\\-2a + 3 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a \in \left( {-\dfrac{1}{3}; + \infty } \right),\\a \in \left( {-\infty ;-3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right),\\a \in \left( {-\infty ;\dfrac{3}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a \in \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right).\) Если \(a \le -\dfrac{1}{3},\) то при раскрытии модулей коэффициент перед «x» у функции \(f\left( x \right)\) будет больше нуля и она будет являться возрастающей. Поэтому в этом случае исходное уравнение будет иметь два решения, если дискриминант квадратного уравнения \({t^2}-\left( {a + 1} \right)t + 1 = 0\) будет больше нуля: \(\left\{ \begin{array}{l}a \le -\dfrac{1}{3},\\D = {\left( {a + 1} \right)^2}-4 > 0,\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a \le -\dfrac{1}{3},\\\left( {a-1} \right)\left( {a + 3} \right) > 0,\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a \in \left( {-\infty ;-\dfrac{1}{3}} \right],\\a \in \left( {-\infty ;-3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right),\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a \in \left( {-\infty ;-\dfrac{1}{3}} \right].\) Таким образом, исходное уравнение будет иметь два решения при \(a \in \left( {-\infty ;-3} \right) \cup \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-3} \right) \cup \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right).\) 
Эскиз графика изображён на рисунке.