\(\sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2}\left( {{2^x} + \sin \dfrac{{\pi x}}{2}} \right)} \right) + \left| {{3^x} + {3^{1-x}}-4} \right| \le -1\)
Так как \(-1 \le \sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2}\left( {{2^x} + \sin \dfrac{{\pi x}}{2}} \right)} \right) \le 1\) и \(\left| {{3^x} + {3^{1-x}}-4} \right| \ge 0\), то неравенство выполнится только в случае:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2}\left( {{2^x} + \sin \dfrac{{\pi x}}{2}} \right)} \right) = -1,}\\{{3^x} + {3^{1-x}}-4 = 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Решим второе уравнение:
\({3^x} + {3^{1-x}}-4 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{3^x} + \dfrac{3}{{{3^x}}}-4 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{3^{2x}}-4 \cdot {3^x} + 3 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x = 1.\end{array} \right.\)
Корень \(x = 0\) удовлетворяет первому уравнению последней системы, а \(x = 1\) не удовлетворяет.
Ответ: 0.