50В (ЕГЭ 2025). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\({\left( {7x + \left| {x + a} \right|-\left| {6x} \right|} \right)^2} + \left( {a + 1} \right)\left( {7x + \left| {x + a} \right|-\left| {6x} \right|} \right)-a-1 = 0\)
имеет ровно два различных корня.
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;-5} \right) \cup \left( {-1;-\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {-\dfrac{1}{2}; + \infty } \right).\)
Пусть \(7x + \left| {x + a} \right|-\left| {6x} \right| = t,\) тогда уравнение примет вид: \({t^2} + \left( {a + 1} \right)t-a-1 = 0.\) Рассмотрим функцию \(f\left( x \right) = 7x + \left| {x + a} \right|-\left| {6x} \right|,\) которая является непрерывной и неубывающей, так как при раскрытии модулей сумма коэффициентов перед «x»: \(7 \pm 1 \pm 6 \ge 0.\) Следовательно, графиком функции \(f\left( x \right)\) является неубывающая ломаная. Подмодульные выражения равны нулю при \(x = -a\) и \(x = 0.\) При раскрытии модулей коэффициент перед «x» будет равен нулю, только в случае если \(\left| {x + a} \right|\) раскроется со знаком минус (то есть при \(x < -a\)), а \(\left| {6x} \right|\) со знаком плюс (то есть при \(x > 0\)). Следовательно, если \(a < 0\), то при \(0 < x < -a\) функция \(f\left( x \right)\) примет вид: \(f\left( x \right) = 7x-x-a-6x = -a.\) Тогда при \(a < 0\) исходное уравнение будет иметь два решение, если квадратное уравнение \({t^2} + \left( {a + 1} \right)t-a-1 = 0\) будет иметь два решения не совпадающие с \(«-a».\) Для этого необходимо выполнения следующих условий: \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0,\\D = {\left( {a + 1} \right)^2} + 4\left( {a + 1} \right) > 0,\\{\left( {-a} \right)^2}-\left( {a + 1} \right)a-a-1 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a < 0,\\\left( {a + 1} \right)\left( {a + 5} \right) > 0,\\-2a-1 \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a \in \left( {-\infty ;0} \right),\\a \in \left( {-\infty ;-5} \right) \cup \left( {-1; + \infty } \right),\\a \in \left( {-\infty ;-\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {-\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a \in \left( {-\infty ;-5} \right) \cup \left( {-1;-\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {-\dfrac{1}{2};0} \right).\) Если \(a \ge 0,\) то при раскрытии модулей коэффициент перед «x» у функции \(f\left( x \right)\) будет больше нуля и она будет являться возрастающей. Поэтому в этом случае исходное уравнение будет иметь два решения, если дискриминант квадратного уравнения \({t^2} + \left( {a + 1} \right)t-a-1 = 0\) будет больше нуля: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0,\\D = {\left( {a + 1} \right)^2} + 4\left( {a + 1} \right) > 0,\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0,\\\left( {a + 1} \right)\left( {a + 5} \right) > 0,\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a \in \left[ {0; + \infty } \right),\\a \in \left( {-\infty ;-5} \right) \cup \left( {-1; + \infty } \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a \in \left[ {0; + \infty } \right).\) Таким образом, исходное уравнение будет иметь два решения при \(a \in \left( {-\infty ;-5} \right) \cup \left( {-1;-\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {-\dfrac{1}{2}; + \infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-5} \right) \cup \left( {-1;-\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {-\dfrac{1}{2}; + \infty } \right).\) 
Эскиз графика изображён на рисунке.