Нестандартные уравнения и неравенства. Задача 53А

Задача 53. Решите неравенство: \(\lg \,\left( {1 + y} \right) + \arcsin \,\left( {\,{2^{\left| {\,x\,} \right|}} + y} \right) \geqslant \dfrac{\pi }{2}.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,0;\,0} \right).\)

Решение

\(\lg \left( {1 + y} \right) + \arcsin \left( {{2^{\left| x \right|}} + y} \right) \ge \dfrac{\pi }{2}\)

Запишем область допустимых значений: \(\left\{ \begin{array}{l}-1 \le {2^{\left| x \right|}} + y \le 1,\\y > -1.\end{array} \right.\)

Так как \({2^{\left| x \right|}} \ge 1\), то \(y \le 0.\) Таким образом, \(y \in \,\left( {-1;\,0} \right],\) а при этих значениях \(\lg \left( {y + 1} \right) \le 0\). Второе слагаемое в левой части \(-\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} \le \arcsin \left( {{2^{\left| x \right|}} + y} \right) \le \dfrac{{\rm{\pi }}}{2}.\) Поэтому неравенство выполнится только в случае:

\(\left\{ \begin{array}{l}\lg \left( {1 + y} \right) = 0,\\\arcsin \left( {{2^{\left| x \right|}} + y} \right) = \dfrac{{\rm{\pi }}}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 0,\\x = 0.\end{array} \right.\)

Ответ: \(\left( {0;\,0} \right).\)