Задача 54. Решите неравенство: \(\pi \,y + 2\arcsin \,\left( {\,{x^2} + y\,} \right) \geqslant 2\pi .\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\,0;\,1} \right).\)
Решение
\(\pi y + 2\arcsin \left( {{x^2} + y} \right) \ge 2\pi \)
Запишем область допустимых значений: \(-1 \le {x^2} + y \le 1,\) из которого следует, что \(y \le 1.\) Тогда \({\rm{\pi }}y \le {\rm{\pi }},\) а второе слагаемое в левой части \(-\pi \le 2\arcsin \left( {{x^2} + y} \right) \le \pi .\) Поэтому неравенство выполнится только в случае:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\pi y = \pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2\arcsin \left( {{x^2} + y} \right) = \pi }\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 1,\\\arcsin \left( {{x^2} + 1} \right) = \frac{{\rm{\pi }}}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 1,\\x = 0.\end{array} \right.\)
Ответ: \(\left( {0;\,1} \right).\)