\({2^y}-2\cos x + \sqrt {y-{x^2}-1} \le 0\)
Запишем область допустимых значений: \(y-{x^2}-1 \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y \ge {x^2} + 1.\)
Следовательно, \(y \ge 1\). Тогда \({2^y} \ge 2,\) а второе слагаемое в левой части \(-2 \le -2\cos x \le 2\). Поэтому неравенство выполнится только в случае:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^y} = 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2\cos x = 2,\,\,\,\,\,}\\{y-{x^2}-1 = 0}\end{array}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 1,\\x = 0.\end{array} \right.} \right.\)
Ответ: \(\left( {0;\,1} \right).\)