Запишем область допустимых значений: \(x > 0.\)
\(\log _2^2x + \left( {x-1} \right){\log _2}x = 6-2x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\log _2^2x + \left( {x-1} \right){\log _2}x + 2x-6 = 0.\)
Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда:
\({t^2} + \left( {x-1} \right)t + 2x-6 = 0;\,\,\,\,\,\,\,D = {\left( {x-1} \right)^2}-4\left( {2x-6} \right) = {x^2}-2x + 1-8x + 24 = {\left( {x-5} \right)^2}.\)
\(\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{-x + 1 + x-5}}{2} = -2,\\t = \dfrac{{-x + 1-x + 5}}{2} = -x + 3.\end{array} \right.\)
Возвращаясь к прежней переменной, получим:
\(\left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = -2,\\{\log _2}x = 3-x\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4},\\{\log _2}x = 3-x.\end{array} \right.\)
Рассмотрим уравнение \({\log _2}x = 3-x\). Логарифмическая функция \(y = {\log _2}x\) является возрастающей, так как основание \(2 > 1,\) а линейная функция \({y_2} = 3-x\) является убывающей, так как угловой коэффициент \(k = -1\) (коэффициент перед x). Следовательно, эти две функции либо пересекаются в одной точке, либо общих точек не имеют. Следовательно, последнее уравнение либо имеет одно решение, либо не имеет решений. Подбором заметим, что \(x = 2\) является корнем уравнения. Следовательно, корни уравнения \(x = \dfrac{1}{4}\) и \(x = 2.\)
Ответ: \(\dfrac{1}{4};\,\,\,2.\)