\({({\cos ^2}x + a)^7}-{(4\cos x-a)^5} = {(4\cos x-a)^7}-{({\cos ^2}x + a)^5}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{({\cos ^2}x + a)^7} + {({\cos ^2}x + a)^5} = {(4\cos x-a)^7} + {(4\cos x-a)^5}.\)
Рассмотрим функцию \(f(t) = {t^7} + {t^5}\), которая является монотонно возрастающей на всей числовой прямой, так как \(f'(t) = 7{t^6} + 5{t^4} \ge 0\) при \(t \in R\). В силу возрастания функции \(y = f\left( t \right)\) равенство \(f\left( b \right) = f\left( c \right)\) возможно только в том случае, если \(b = c\). В нашем примере \(b = {\cos ^2}x + a,\,\,\,\,c = 4\cos x-a.\) Следовательно, исходное уравнение можно записать в виде:
\({\cos ^2}x + a = 4\cos x-a\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\cos ^2}x-4\cos x + 2a = 0.\)
Пусть \(\cos x = z\), где \(z \in [-1;1]\). Тогда: \({z^2}-4z + 2a = 0\).
Рассмотрим функцию \(f(z) = {z^2}-4z + 2a\), графиком которой является парабола ветвями направленными вверх. Так как \({z_B} = -\dfrac{b}{{2a}} = 2\), то последнее уравнение будет иметь решение принадлежащее промежутку \([-1;1]\), если выполнятся условия:
\(\left\{ \begin{array}{l}f(1) \le 0,\\f(-1) \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}f(1) = -3 + 2a \le 0,\\f(-1) = 5 + 2a \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in \left[ {-\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}} \right].\)
Ответ: \(\left[ {-\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}} \right]\).