\(x \cdot {2^x} = x\left( {3-x} \right) + 2\left( {{2^x}-1} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \cdot {2^x} = 3x-{x^2} + 2 \cdot {2^x}-2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} + \left( {{2^x}-3} \right)x-2 \cdot {2^x} + 2 = 0;\)
\(D = {\left( {{2^x}-3} \right)^2} + 8 \cdot {2^x}-8 = {\left( {{2^x}} \right)^2}-6 \cdot {2^x} + 9 + 8 \cdot {2^x}-8 = {\left( {{2^x} + 1} \right)^2};\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{-{2^x} + 3 + {2^x} + 1}}{2},\\x = \dfrac{{-{2^x} + 3-{2^x}-1}}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 2,\\x = -{2^x} + 1.\end{array} \right.\)
Рассмотрим уравнение \({2^x} = -x + 1\). Показательная функция \({y_1} = {2^x}\) является возрастающей, так как основание \(2 > 1,\) а линейная функция \({y_2} = -x + 1\) является убывающей, так как угловой коэффициент \(k = -1\) (коэффициент перед x). Следовательно, эти две функции либо пересекаются в одной точке, либо общих точек не имеют. Следовательно, последнее уравнение либо имеет одно решение, либо не имеет решений. Подбором заметим, что \(x = 0\) является корнем уравнения. Следовательно, корни уравнения \(x = 0\) и \(x = 2.\)
Ответ: 0; 2.