7В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых любой корень уравнения \(4\sqrt[3]{{3,5x-2,5}} + 3{\log _2}\left( {3x-1} \right) + 2a = 0\) принадлежит отрезку \(\left[ {\,1;3} \right].\)
Решение
\(4\sqrt[3]{{3,5x-2,5}} + 3{\log _2}(3x-1) + 2a = 0\)
Запишем область допустимых значений: \(3x-1 > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x > \dfrac{1}{3}.\)
Так как \({f_1}(x) = 4\sqrt[3]{{3,5x-2,5}}\) и \({f_2}(x) = 3{\log _2}(3x-1)\) возрастающие функции при \(x > \dfrac{1}{3}\), то функция \(f(x) = 4\sqrt[3]{{3,5x-2,5}} + 3{\log _2}(3x-1) + 2a\) также является возрастающей. Поэтому исходное уравнение будет иметь корень принадлежащий промежутку \([1;3]\), если:
\(\left\{ \begin{array}{l}f(1) \le 0,\\f(3) \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}f(1) = 4 + 3 + 2a \le 0,\\f(3) = 8 + 9 + 2a \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a \le -\dfrac{7}{2},\\a \ge -\dfrac{{17}}{2}\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,a \in [-8,5;-3,5].\)
Ответ: \([-8,5;-3,5]\).