\(\left| {\left| {x + 2a} \right|-3a} \right| + \left| {\left| {3x-a} \right| + 4a} \right| \le 7x + 24\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left| {\left| {x + 2a} \right|-3a} \right| + \left| {\left| {3x-a} \right| + 4a} \right|-7x-24 \le 0.\)
Функция \(f(x) = \left| {\left| {x + 2a} \right|-3a} \right| + \left| {\left| {3x-a} \right| + 4a} \right|-7x-24\) является убывающей, так как при раскрытии модулей сумма коэффициентов перед «x»: \( \pm 1 \pm 3-7 < 0\). Следовательно, графиком функции \(f(x)\) является убывающая ломаная. Поэтому исходное неравенство будет выполняться для всех \(x \in [0;7]\), если:
\(f(0) \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,f(0) = \left| {\left| {2a} \right|-3a} \right| + \left| {\left| a \right| + 4a} \right|-24 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0,\\a + 5a-24 \le 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a < 0,\\-5a-3a-24 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0,\\a \le 4,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a < 0,\\a \ge -3\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}0 \le a \le 4,\\-3 \le a < 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \in \left[ {-3;\,4} \right].\)
Ответ: \([-3;4]\).