23В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\left( {{x^4} + 1} \right) = y-\left| {\,x\,} \right| + 2,}\\{{x^2} + {y^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) имеет ровно одно решение.
Решение
Заметим, что система чётная относительно x. Поэтому, если пара \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) является решением, то пара \(\left( {-{x_0};{y_0}} \right)\) также будет являться решением. Следовательно, система может иметь одно решение, если \(x = 0\).
Если \(x = 0,\) то исходная система примет вид:
\(\left\{ \begin{array}{l}a = y + 2,\\{y^2} = 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 2,\\a = 4,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = -2,\\a = 0.\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Таким образом, система может иметь одно решение только при \(a = 0\) и \(a = 4.\)
При \(a = 0\) исходная система примет вид:
\(\left\{ \begin{array}{l}y-\left| x \right| + 2 = 0,\\{x^2} + {y^2} = 4.\end{array} \right.\)
Заметим, что решением последней системы являются пары \(\left( {0;-2} \right)\), \(\left( {2;0} \right)\), \(\left( {-2;0} \right)\), то есть при \(a = 0\) система имеет по крайней мере 3 решения поэтому \(a = 0\) не подходит.
При \(a = 4\) исходная система примет вид:
\(\left\{ \begin{array}{l}y = 4{x^4} + \left| x \right| + 2,\\{x^2} + {y^2} = 4.\end{array} \right.\)
Так как \(4{x^4} + \left| x \right| \ge 0,\) то из первого уравнения \(y \ge 2\), а из второго \(y \in \left[ {-2;2} \right].\) Поэтому последняя система может иметь решение только при \(y = 2.\) При \(y = 2\) из первого уравнения следует, что \(x = 0\) и пара \(\left( {0;2} \right)\) удовлетворяет второму уравнению, то есть при \(a = 4\) система имеет одно решение.
Ответ: 4.