а) \({\log _2}\left( {{x^2}-2x} \right) = 3.\)
Запишем ОДЗ: \({x^2}-2x > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x-2} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\)
\({\log _2}\left( {{x^2}-2x} \right) = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-2x = {2^3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-2x-8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ \begin{array}{l}x = -2,\\x = 4.\end{array} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \([{\log _2}0,1;{\log _2}13.]\)
Так как \(4 = 4\,\,{\log _2}2 = {\log _2}{2^4} = {\log _2}16 > {\log _2}13,\) то \(x = 4\,\, \notin \,\left[ {{{\log }_2}0,1;\;\,{{\log }_2}13} \right].\)
Так как \(-2 = -2\,\,{\log _2}2 = {\log _2}{2^{-2}} = {\log _2}\dfrac{1}{4},\) а \({\log _2}0,1 < {\log _2}\dfrac{1}{4} = -2 < {\log _2}13,\) то \(x = -2\,\, \in \,\left[ {{{\log }_2}0,1;\;\,{{\log }_2}13} \right].\)
Ответ: а) \(-2;\,\,\,\,\,4;\)
б) \(-2.\)