а) \(2\sin x + 2\sqrt 2 \sin (-x) -4{\cos ^2}x = \sqrt 2 -4.\)
Воспользуемся тем, что функция синус является нечётной, то есть \(\sin \left( {-x} \right) = -\sin x\) и основным тригонометрическим тождеством \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то есть \({\cos ^2}x = 1-{\sin ^2}x:\)
\(2\sin x + 2\sqrt 2 \sin (-x) -4{\cos ^2}x = \sqrt 2 -4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\sin x-2\sqrt 2 \sin x-4\left( {1-{{\sin }^2}x} \right) = \sqrt 2 -4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\sin x-2\sqrt 2 \sin x-4 + 4{\sin ^2}x = \sqrt 2 -4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\sin x + 4{\sin ^2}x-2\sqrt 2 \sin x-\sqrt 2 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\sin x\left( {1 + 2\sin x} \right)-\sqrt 2 \left( {2\sin x + 1} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {2\sin x + 1} \right)\left( {2\sin x-\sqrt 2 } \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}2\sin x + 1 = 0,\\2\sin x-\sqrt 2 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\sin x = -\dfrac{1}{2},\\\sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = -\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + 2{\rm{\pi }}k,\\x = -\dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{6} + 2{\rm{\pi }}k,\\x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + 2{\rm{\pi }}k,\\x = \dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{4} + 2{\rm{\pi }}k\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\dfrac{{\rm{\pi }}}{2}{\rm{;}}\,\,{\rm{\pi }}} \right]\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = -\dfrac{{\rm{\pi }}}{6};\;\,\,\;\,x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{4};\;\,\,\,\;x = \dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{4}.\)
Ответ: а) \(\dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + 2{\rm{\pi }}k;\quad \dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{4} + 2{\rm{\pi }}k;\quad -\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + {\rm{2\pi }}k;\,\,\,\,\,\,-\dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{6} + {\rm{2\pi }}k;\,\,\,\,\,\,k \in Z;\)
б) \(-\dfrac{{\rm{\pi }}}{6};\;\;\dfrac{{\rm{\pi }}}{4};\;\;\dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{4}.\)