ЕГЭ профильный уровень. №2 Комбинация тел. Задача 35

Задача 35. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(9\sqrt 2 .\) Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Решение

По теореме Пифагора: \({R^2} + {h^2} = {L^2}.\) Так как R = h, то:

\({R^2} + {R^2} = {L^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{L^2} = 2{R^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,L = R\sqrt 2 .\)

Площадь боковой поверхности цилиндра:

\({S_{{\rm{бок}}{\rm{.}}\,{\rm{цил}}}} = 2\pi Rh = 2\pi {R^2} = 9\sqrt 2 \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\pi {R^2} = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{2}\).

Площадь боковой поверхности конуса:

\({S_{{\rm{бок}}{\rm{.}}\,{\rm{кон}}}} = \pi RL = \pi R \cdot R\sqrt 2 = \pi {R^2}\sqrt 2 = \sqrt 2 \cdot \dfrac{{9\sqrt 2 }}{2} = 9.\)

Ответ: 9.