ЕГЭ профильный уровень. №2 Векторы. Задача 8

Задача 8. Сторона равностороннего треугольника ABC равна \(6\sqrt 3 .\) Найдите длину суммы векторов \(\overrightarrow {CA} \) и \(\overrightarrow {BA} .\)

Ответ

ОТВЕТ: 18.

Решение

Достроим треугольник АВС до ромба ABDC. Тогда: \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BA} = -\overrightarrow {AC} -\overrightarrow {AB} = -\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right).\)

По правилу параллелограмма \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} .\)

По определению синуса из треугольника АВО:

\(\sin {60^ \circ } = \dfrac{{AO}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{AO}}{{6\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AO = 9.\)

Тогда: \(AD = 2AO = 2 \cdot 9 = 18.\) Следовательно: \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {-\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 18.\)

Ответ: 18.