ЕГЭ профильный уровень. №2 Простейшие задачи в координатах. Задача 34

Задача 34. Даны координаты точек А (6; 3) и В (14; 9). Найдите координаты точки М, если точка В принадлежит отрезку АМ и АВ : ВМ = 2 : 1. В ответ запишите сумму координат точки М.

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Пусть точка К – середина отрезка АВ. Тогда её координаты равны среднему арифметическому координат точек А и В:

\(K = \left( {\dfrac{{6 + 14}}{2};\dfrac{{3 + 9}}{2}} \right) = \left( {10;6} \right).\)

Так как \(AB:BM = 2:1\), то точка В – середина отрезка КМ и её координаты равны среднему арифметическому координат точек К и М.

Пусть точка \(M\left( {x;y} \right).\) Тогда: \(\dfrac{{10 + x}}{2} = 14\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 18;\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{6 + y}}{2} = 9\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,y = 12.\)

Таким образом, точка \(M\left( {18;12} \right)\) и сумма её координат равна: \(18 + 12 = 30.\)

Ответ: 30.