ЕГЭ профильный уровень. №2 Скалярное произведение векторов. Задача 37math100admin44242025-04-02T09:02:37+03:00
Задача 37. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( {-4;\,8} \right),\,\,B\left( {2;\,14} \right)\) и \(C\left( {4;\,0} \right)\) найдите косинус угла С.
Решение
Угол С равен углу между векторами \(\overrightarrow {CA} \) и \(\overrightarrow {CB} \). найдём координаты векторов \(\overrightarrow {CA} \) и \(\overrightarrow {CB} \):
\(\overrightarrow {CA} = \left( {-4-4;8-0} \right) = \left( {-8;8} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {CB} = \left( {2-4;14-0} \right) = \left( {-2;14} \right).\)
\(\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {CA} \overrightarrow {CB} }} \right) = \dfrac{{\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = \dfrac{{-8 \cdot \left( {-2} \right) + 8 \cdot 14}}{{\sqrt {{{\left( {-8} \right)}^2} + {8^2}} \cdot \sqrt {{{\left( {-2} \right)}^2} + {{14}^2}} }} = \dfrac{{128}}{{8\sqrt 2 \cdot 10\sqrt 2 }} = 0,8.\)
Ответ: 0,8.