По определению скалярного произведения:
\(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,53 = 11 \cdot 7\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right) = \dfrac{53}{{77}}.\)
Построим на векторах \(\vec a\) и \(2\vec b\) параллелограмм ABCD. Тогда: \(\vec c = \vec a + 2\vec b = \overrightarrow {AC} .\)
Так как \(\cos \left( {\widehat {\vec a\vec b}} \right) = \dfrac{53}{{77}}\), то \(\cos \angle A = \dfrac{53}{{77}}\), а \(\cos \angle B = -\dfrac{53}{{77}}.\)
\(AB = \left| {\vec a} \right| = 11;\,\,\,\,\,\,\,\,BC = AD = \left| {2\vec b} \right| = 2\left| {\vec b} \right| = 2 \cdot 7 = 14.\)
Длину диагонали АС найдём по теореме косинусов:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle B\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = \sqrt {{{11}^2} + {{14}^2}-2 \cdot 11 \cdot 14 \cdot \left( {-\dfrac{53}{{77}}} \right)} = 23.\)
Следовательно: \(\left| {\vec c} \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 23.\)
Ответ: 23.