ЕГЭ профильный уровень. №2 Скалярное произведение векторов. Задача 49math100admin44242025-04-02T09:15:20+03:00
Задача 49. В треугольнике АВС скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {BA} \) и \(\overrightarrow {BC} \) равно 8, а угол между ними \({45^ \circ }.\) Найдите площадь треугольника АВС.
Решение
По определению скалярного произведения:
\(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \angle B.\)
Тогда:
\(\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos {45^ \circ } = 8\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \dfrac{{16}}{{\sqrt 2 }}.\)
Найдём площадь треугольника ABC:
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \cdot \sin \angle B = \dfrac{1}{2} \cdot \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\sin {45^ \circ } = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{16}}{{\sqrt 2 }} \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 4.\)
Ответ: 4.