Построим прямоугольные треугольники BKC и AMC, которые являются подобными. Следовательно, \(\angle BCK + \angle ACM = {90^ \circ }.\) Тогда: \(\angle ACB = {90^ \circ }.\)
По определению скалярного произведения:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \angle BAC.\)
По определению косинуса: \(\cos \angle BAC = \dfrac{{AC}}{{AB}}.\) Тогда:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2}.\)
Длину отрезка АС найдём по теореме Пифагора из треугольника АMС: \(AM = 1,\,\,\,MC = 2\).
\(A{C^2} = A{M^2} + M{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 .\)
Следовательно: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 5.\)
Ответ: 5.
Задача 59. На клетчатой бумаге с размером \(1\, \times \,1\) изображен треугольник ABC. Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} .\)