Построим прямоугольные треугольники BKC и AMC, которые являются подобными. Следовательно, \(\angle BCK + \angle ACM = {90^ \circ }.\) Тогда: \(\angle ACB = {90^ \circ }.\)
По определению скалярного произведения:
\(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \angle ABC.\)
По определению косинуса: \(\cos \angle ABC = \dfrac{{BC}}{{BA}}.\) Тогда:
\(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \dfrac{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|}} = {\left| {\overrightarrow {BC} } \right|^2}.\)
Длину отрезка BС найдём по теореме Пифагора из треугольника BКС: \(CK = 2,\,\,\,BK = 4\).
\(B{C^2} = C{K^2} + B{K^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,BC = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = \sqrt {20} .\)
Следовательно: \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = {\left| {\overrightarrow {BC} } \right|^2} = {\left( {\sqrt {20} } \right)^2} = 20.\)
Ответ: 20.
Задача 60. На клетчатой бумаге с размером \(1\, \times \,1\) изображен треугольник ABC. Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} .\)