Задача 60. На клетчатой бумаге с размером \(1\, \times \,1\) изображен треугольник ABC. Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} .\)
По определению скалярного произведения: \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \angle ABC.\) По определению косинуса: \(\cos \angle ABC = \frac{{BC}}{{BA}}.\) Тогда: \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \frac{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|}} = {\left| {\overrightarrow {BC} } \right|^2}.\) Длину отрезка BС найдём по теореме Пифагора из треугольника BКС: \(CK = 2,\,\,\,BK = 4\). \(B{C^2} = C{K^2} + B{K^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,BC = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = \sqrt {20} .\) Следовательно: \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = {\left| {\overrightarrow {BC} } \right|^2} = {\left( {\sqrt {20} } \right)^2} = 20.\) Ответ: 20.
Построим прямоугольные треугольники BKC и AMC, которые являются подобными. Следовательно, \(\angle BCK + \angle ACM = {90^ \circ }.\) Тогда: \(\angle ACB = {90^ \circ }.\)