Задача 19. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\) и отмечены точки \( — 2,\; — 1,\;1,\;2\). В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках –1, 1 (так как в них функция убывает) и положительна в точках –2, 2 (так как в них функция возрастает). Следовательно, значение производной будет наибольшим либо в точке –2, либо в точке 2. В точке –2 касательная образует угол наклона равный \({\rm{\alpha }}\), а в точке 2 угол \({\rm{\beta }}\) (см. рисунок). Так как \({\rm{\alpha }} > {\rm{\beta }}\) и \({\rm{\alpha }},\,{\rm{\beta }} \in \left( {{0^ \circ };\,{{90}^ \circ }} \right)\), то \({\rm{tg}}\,{\rm{\alpha }} > {\rm{tg}}\,{\rm{\beta }}\), поэтому значение производной из 4 заданных точек в точке –2 будет наибольшим. Ответ: –2.