ЕГЭ профильный уровень. №8 Применение производной к исследованию функций. Задача 6math100admin44242023-09-05T21:56:53+03:00
Задача 6. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 5;19} \right)\). Найдите количество точек максимума функции \(f\left( x \right)\), принадлежащих отрезку \(\left[ { — 3;\;15} \right]\).
Решение
Значение производной \(f’\left( x \right)\) в точках максимума и минимума функции \(f\left( x \right)\) равно нулю. При этом в точках максимума производная меняет знак с «+» на «-», а в точках минимума с «-» на «+». Следовательно, для нахождения количества точек максимума необходимо найти количество нулевых значений производной при переходе через которые знак производной меняется с «+» на «-». В данном случае на отрезке \(\left[ { — 3;\,15} \right]\) производная равна нулю в точках \(x = 2,\,\,x = 4,\,\,x = 12\) (выделены красным цветом см. рисунок). На промежутках \(\left[ { — 3;\,2} \right]\) и \(\left[ {4;\,12} \right]\) график производной расположен ниже оси Ox, следовательно, производная принимает неположительные значения, а на промежутках \(\left[ {2;\,4} \right]\) и \(\left[ {12;\,15} \right]\) график производной расположен выше оси Ox, следовательно, производная принимает неотрицательные значения. Таким образом, производная меняет знак с «+» на «-» только при переходе через точку \(x = 4\), поэтому функция имеет 1 точку максимума.
Ответ: 1.