Скачать файл в формате pdf.


Геометрия 10-11 класс. Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. Расстояние от точки до прямой можно вычислить, как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот. При этом если длины сторон треугольника все разные a, b, c (треугольник не равносторонний и не равнобедренный), то высоту треугольника, например, к стороне a можно искать по следующему алгоритму:

1) по теореме косинусов находим косинус угла между сторонами a и b;

2) зная косинус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество, найти его синус;

3) синус найденного угла есть отношение искомой высоты к стороне b.

В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Задача 1. Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1. Найдите расстояние от точки А до прямой СD1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Задача 2. Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1. Найдите расстояние от точки D до прямой CC1.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 3. Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1. Найдите расстояние от точки C1 до прямой AD1.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 4. Рёбра правильного тетраэдра ABCD равны 1. Точка K — середина ребра AB. Найдите расстояние  от точки K до прямой CD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Задача 5. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 1. Найдите расстояние от точки A до прямой SC.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Задача 6. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 1. Точка К — середина бокового ребра SC. Найдите расстояние от точки К до прямой AB.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {11} }}{4}\).

Задача 7. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 1. Точка К — середина бокового ребра SC. Найдите расстояние от точки К до прямой BD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{1}{2}\).

Задача 8. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние  от точки B до прямой AC1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {14} }}{4}\).

Задача 9. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние от точки A до прямой B1C1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 7 }}{2}\).

Задача 10. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1. Точка К — середина ребра BC. Найдите расстояние от точки К до прямой A1C1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {19} }}{4}\).

Задача 11. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние от точки B до прямой A1F1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 7 }}{2}\).

Задача 12. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние от точки B до прямой FE1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt 3 \).

Задача 13. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние от точки B до прямой AD1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Задача 14. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние от точки A до прямой D1F1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt 2 \).

Задача 15. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние от точки A до прямой B1E.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {30} }}{5}\).

Задача 16. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Найдите расстояние от точки S до прямой BF.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {13} }}{2}\).

Задача 17. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Найдите расстояние от точки B до прямой SA.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {15} }}{4}\).

Задача 18. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Точка G — середина ребра SC. Найдите расстояние от точки F до прямой BG.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {42} }}{4}\).

Задача 19. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Найдите расстояние от точки A до прямой SD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt 3 \).

Задача 20. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Найдите расстояние от точки A до прямой SC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {39} }}{4}\).

Задача 21. Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 – ромб ABCD, в котором  \(AB = 10,\quad AC = 6\sqrt 7 .\) Боковое ребро АА1 равно \(3\sqrt {21} \). Найдите расстояние от вершины В до прямой АС1.

Ответ

ОТВЕТ: 8.

Задача 22. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром \(8\sqrt 6 .\) Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до прямой MT, где точки М и Т – середины ребер CD и A1B1 соответственно.

Ответ

ОТВЕТ: 12.