Скачать файл в формате pdf.


Геометрия 10-11 класс. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Расстояние от точки M до плоскости α:

1) равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки P,  лежащей на прямой l,  которая проходит через точку M и параллельна плоскости α;

2) равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки P, лежащей на плоскости β, которая проходит через точку M и параллельна плоскости α.

Метод объемов: Если объем пирамиды ABCS равен \({V_{ABCS}}\), то расстояние от точки S до плоскости ABC можно найти используя формулу объема пирамиды:  \({V_{ABCS}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot H\),  где H – расстояние от точки S до плоскости ABC.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра, которое равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Задача 1. Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1. Найдите расстояние от точки B до плоскости DA1C1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Задача 2. Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1. Найдите расстояние от точки A до плоскости BDC1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Задача 3. Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1. Найдите расстояние от точки D до плоскости AB1D1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Задача 4. Рёбра правильного тетраэдра ABCD равны 1. Найдите расстояние от точки A до плоскости BCD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Задача 5. Рёбра правильного тетраэдра ABCD равны 1. Точка K — середина ребра AB. Найдите расстояние от точки K до плоскости ADC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 6 }}{6}\).

Задача 6. Рёбра правильного тетраэдра ABCD равны 1. Найдите расстояние от центра грани ABC до плоскости BCD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 6 }}{9}\).

Задача 7. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 1. Найдите расстояние от точки A до плоскости BSD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Задача 8. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 1. Точка К — середина бокового ребра SC. Найдите расстояние от точки S до плоскости BКD.

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 9. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние от точки A до плоскости BCA1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Задача 10. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1. Точка К — середина ребра BC. Найдите расстояние от точки К до плоскости AB1C1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Задача 11. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние от точки A до плоскости DEA1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Задача 12. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние от точки A до плоскости DEF1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{2\sqrt {21} }}{7}\).

Задача 13. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние от точки A до плоскости BFE1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Задача 14. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние от точки A до плоскости BFA1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Задача 15. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние от точки A до плоскости CEF1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3\sqrt 2 }}{4}\).

Задача 16. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Найдите расстояние от точки A до плоскости SDE.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{2\sqrt {15} }}{5}\).

Задача 17. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Найдите расстояние от точки A до плоскости SBF.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt {39} }}{{13}}\).

Задача 18. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Найдите расстояние от точки A до плоскости SCE.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3\sqrt {39} }}{{13}}\).

Задача 19. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от вершины A до плоскости, проходящей через середины ребер AB, АС и AD, если  \(AD = 2\sqrt 5 ,\quad AB = AC = 10,\quad BC = 4\sqrt 5 \).

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 20. На продолжении ребра SK за точку K правильной четырехугольной пирамиды SKLMN с вершиной S взята точка A так, что расстояние от точки A до плоскости MNS равно 24. Найдите длину отрезка KA, если  \(SL = 2\sqrt {41} ,\quad MN = 16.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(3\sqrt {41} \).

Задача 21. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Найдите расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Задача 22. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Найдите расстояние от вершины А до плоскости А1ВТ, где Т – середина ребра AD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{\sqrt 6 }}{6}\).

Задача 23. В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой АВ, равной \(2\sqrt {10} \); высота призмы равна \(2\sqrt 5 \). Найдите расстояние от точки C1 до плоскости ВСМ, где М – середина ребра A1C1.

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 24. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D – середина ребра СС1. Найдите расстояние от вершины С до плоскости ADB1.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}\).