Геометрия 10-11 класс. Угол между плоскостями

Скачать файл в формате pdf.

Геометрия 10-11 класс. Угол между плоскостями

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Величина двугранного угла принадлежит интервалу \({0^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ }\). Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку \({0^ \circ } < \alpha  \le {90^ \circ }\). Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным нулю.

Нахождение угла сводится непосредственно к построению и вычислению величины линейного угла двугранного угла, образованного двумя пересекающимися плоскостями. Соответствующий линейный угол строится с помощью двух перпендикуляров, проведенных в указанных плоскостях к прямой их пересечения, а его величина в дальнейшем находится либо из некоторого прямоугольного треугольника, либо из некоторого треугольника с помощью теоремы косинусов.

Часто чтобы построить линейный угол между двумя плоскостями находят отрезок перпендикулярный к одной из плоскостей и концы которого лежат в этих плоскостях. Затем из основания этого перпендикуляра проводят прямую перпендикулярно к линии пересечения этих двух плоскостей и тогда перпендикуляр из другого конца отрезка к линии пересечения плоскостей автоматически попадет в ту же точку (по теореме о трех перпендикулярах).

В некоторых задачах является эффективным метод, при котором вместо угла между пересекающимися плоскостями ищется угол между плоскостями, параллельными рассматриваемым (или между одной из данных плоскостей и плоскостью, параллельной другой из них).

Также не следует забывать, что угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми, которые к этим плоскостям перпендикулярны, т.е. нахождение угла между плоскостями можно свести к нахождению угла между прямыми.

Также при нахождении угла между двумя плоскостями можно использовать теорему о площади ортогональной проекции многоугольника. При применении этого метода угол φ между плоскостями α и β можно вычислить, используя формулу \(\cos \phi  = \frac{{{S_{{\rm{пр}}}}}}{S}\), где S — площадь многоугольника, лежащего в плоскости α, \({S_{пр}}\) — площадь его ортогональной проекции на плоскость β. Обычно этот метод применяют при вычислении угла между плоскостью сечения и плоскостью какой-либо грани многогранника (часто в качестве такой грани выступает основание пирамиды или призмы). Этот метод применяют, когда нахождение площадей является более простой задачей, чем непосредственное вычисление двугранного угла.

Нахождение угла между плоскостями координатным методом. Так как угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми которые к этим плоскостям перпендикулярны, то можно сказать, что угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами этих плоскостей. Поэтому если удалось найти нормальные вектора этих плоскостей  \(\overrightarrow {{n_1}} \)  и  \(\overrightarrow {{n_2}} \), то используя скалярное произведение находят косинус угла между ними, который будет являться косинусом угла между плоскостями. Если косинус получился равен отрицательному значению, то берем это значение по модулю.