Геометрия 10-11 класс. Объём пирамиды
Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,– вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:\({S_{{\text{бок}}{\text{.пов}}}} = \frac{1}{2}p\,l\), где p – периметр основания; l – длина апофемы.
Объем пирамиды вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3}S\,H\), где S – площадь основания; H – длина высоты пирамиды.
Если у пирамиды все боковые ребра равны между собой или наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).
Если у пирамиды боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание (эта же точка служит точкой пересечения биссектрис углов в основании пирамиды).
Задачи для самостоятельного решения
| Задача 1. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной 4. Высота пирамиды 6. Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 2. Площадь основания пирамиды равна 9, расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания равно 4. Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 3. Катеты основания пирамиды равны 12 и 5, высота пирамиды равна половине гипотенузы основания. Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 4. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Найдите объём пирамиды B1DCC1.
|
| Задача 5. В правильной треугольной пирамиде периметр основания равен 6, высота пирамиды – \(4\sqrt 3 .\) Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, а боковое ребро – 13. Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 7. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом \({45^\circ }\), ребро основания равно 3. Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 8. В правильной треугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом \({60^\circ }\), ребро основания равно \(6\sqrt 3 \). Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 9. Расстояние от вершины A до плоскости BCD равно 10, а от вершины B до плоскости ACD – 15. Площадь грани BCD равна 30. Найдите площадь грани ACD.
|
| Задача 10. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны \(3\sqrt 2 \). Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 11. Одно из боковых рёбер четырехугольной пирамиды перпендикулярно основанию и равно 3, основание пирамиды – ромб с диагоналями 7 и 8. Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 12. Стороны правильного тетраэдра равны \(3\sqrt 2 \). Найдите его объём.
|
| Задача 13. Две боковые грани тетраэдра – прямоугольные треугольники с общим катетом равным 6. В основании пирамиды – треугольник со сторонами 8, 15 и 17. Найдите объём тетраэдра.
|
| Задача 14. Боковые рёбра тетраэдра взаимно перпендикулярны и равны 3. Найдите объём тетраэдра.
|
| Задача 15. Все боковые рёбра пирамиды равны по 13, в основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 16. Дана треугольная призма ABCA1B1C1, объём которой 36. Точка M – середина бокового ребра. Найдите объём пирамиды MA1B1C1.
|
| Задача 17. Высоты боковых граней пирамиды, проведенные из вершины, равны 5, стороны основания равны 13, 14 и 15. Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 18. В основании пирамиды с высотой 4 лежит параллелограмм со сторонами 6 и 8. Найдите объём пирамиды, если её боковые рёбра равны.
|
| Задача 19. В основании пирамиды лежит параллелограмм с периметром 36 и острым углом \({30^\circ }.\) Найдите объём пирамиды, если высота пирамиды равна 5, а двугранные углы при ребрах основания равны между собой.
|
| Задача 20. В основании пирамиды лежит прямоугольник, все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом \({45^\circ }\), высота пирамиды равна 3. Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 21. Боковое ребро DC треугольной пирамиды DABC перпендикулярно основанию, DC = 3, AB = 10, двугранный угол при ребре AB равен \({45^\circ }\). Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 22. Объём пирамиды DABC равен 30, точка M – делит ребро BC в отношении 3 : 1, считая от вершины B. Найдите объём пирамиды DABM.
|
| Задача 23. Объём пирамиды DABC равен 30, точка M – делит ребро DC в отношении 3 : 2, считая от вершины D. Найдите объём пирамиды DABM.
|
| Задача 24. Все боковые рёбра тетраэдра наклонены к плоскости основания под углом \({45^\circ }\), стороны основания равны 5, 12 и 13. Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 25. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет угол \({45^\circ }\) с основанием, площадь диагонального сечения – 9. Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 26. Периметр основания четырехугольной пирамиды равен 18, радиус вписанной в него окружности 3, высота пирамиды 4. Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 27. Все боковые рёбра пирамиды равны по \(4\sqrt 3 \), в основании лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной 6 и углом при основании \({30^\circ }\). Найдите объём пирамиды.
|
| Задача 28. Все боковые рёбра пирамиды наклонены к основанию под углом \({60^\circ }\), в основании лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и углом при вершине \({120^\circ }\). Найдите объём пирамиды.
|