Скачать файл в формате pdf.


Геометрия 7-9 класс. Описанная окружность

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

Центр окружности описанной вокруг прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы.

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противолежащих углов равна \({180^ \circ }\), т.е. \(\angle \,A + \angle \,C = \angle B + \angle D = {180^ \circ }.\) Верно и обратное: если сумма противолежащих углов четырехугольника равна \({180^ \circ }\), то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда этот параллелограмм прямоугольник.

Задача 1. Сторона правильного треугольника равна \(\sqrt 3 \). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ
Задача 2. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен \(\sqrt 3 \). Найдите сторону этого треугольника.

Ответ
Задача 3. Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ
Задача 4. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.

Ответ
Задача 5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Ответ
Задача 6. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Ответ
Задача 7. В треугольнике ABC угол С равен 90°, \(AC = 4,\;\;BC = 3.\)  Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ
Задача 8. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Ответ
Задача 9. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ
Задача 10. Одна сторона остроугольного треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.

Ответ
Задача 11. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника.

Ответ
Задача 12. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ
Задача 13. По данным на рисунке найдите площадь треугольника АВС, если точка О – центр описанной окружности, АС = ВС, OD = 8 и АВ = 12.

Ответ
Задача 14. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если центр описанной окружности делит высоту проведённую к основанию на отрезки 10 и 6, считая от вершины.

Ответ
Задача 15. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника АВС, если  \(\angle \,C = {90^ \circ },\)  \(\angle \,A:\angle \,B = 1:2\)  и  \(AC = 8\sqrt 3 .\)

Ответ
Задача 16. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ
Задача 17. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95°, 49°, 71°, 145°. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ
Задача 18. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Ответ
Задача 19. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Ответ
Задача 20. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ

Задача 21. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Ответ
Задача 22. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Ответ
Задача 23. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Ответ
Задача 24. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ
Задача 25. Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

Ответ
Задача 26. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Ответ
Задача 27. Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если боковые стороны равны 5, а основание 6.

Ответ
Задача 28. Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если боковые стороны равны 5, а основание 8.

Ответ
Задача 29. Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна \(8\sqrt 5 ,\) а радиус описанной окружности равен 10.

Ответ
Задача 30. По данным на рисунке найдите ВС, если АВ = 5,  BD = 4  и  ОС = 5.

Ответ
Задача 31. По данным на рисунке найдите радиус описанной окружности OR, если QM = 5, QR = 10  и  PQ = 12.

Ответ
Задача 32. По данным на рисунке найдите радиус описанной окружности ОТ около трапеции KLMT, если LM = 12, KT = 16 и высота трапеции равна 2.

Ответ
Задача 33. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если радиус окружности описанной около её равен 8, \(\angle \,BCA = {30^ \circ }\) и АС является биссектрисой угла BAD.

Ответ
Задача 34. По данным на рисунке найдите радиус описанной окружности ОМ около трапеции FKME,  если  КМ = 2,  FE = 14  и  FK = 10.

Ответ
Задача 35. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Ответ
Задача 36. Радиус окружности описанной около остроугольного треугольника АВС равен 9. Найдите радиус окружности описанной вокруг треугольника МВК, если АК и СМ – высоты треугольника, а АС = 12  и  МК = 4.

Ответ
Задача 37. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.

Ответ
Задача 38. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 14, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.

Ответ