Геометрия 7-9 класс. Описанная окружность
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.
Центр окружности описанной вокруг прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы.
|
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противолежащих углов равна \({180^ \circ }\), т.е. \(\angle \,A + \angle \,C = \angle B + \angle D = {180^ \circ }.\) Верно и обратное: если сумма противолежащих углов четырехугольника равна \({180^ \circ }\), то около этого четырехугольника можно описать окружность. Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда этот параллелограмм прямоугольник. |
 |
| Задача 1. Сторона правильного треугольника равна \(\sqrt 3 \). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
|
|
| Задача 2. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен \(\sqrt 3 \). Найдите сторону этого треугольника.
|
|
| Задача 3. Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
|
|
| Задача 4. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.
|
|
| Задача 5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
|
|
| Задача 6. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.
|
|
| Задача 7. В треугольнике ABC угол С равен 90°, \(AC = 4,\;\;BC = 3.\) Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
|
|
| Задача 8. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
|
|
| Задача 9. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
|
|
| Задача 10. Одна сторона остроугольного треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 11. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника.
|
|
| Задача 12. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
|
|
| Задача 13. По данным на рисунке найдите площадь треугольника АВС, если точка О – центр описанной окружности, АС = ВС, OD = 8 и АВ = 12.
|
 |
| Задача 14. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если центр описанной окружности делит высоту проведённую к основанию на отрезки 10 и 6, считая от вершины.
|
|
| Задача 15. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника АВС, если \(\angle \,C = {90^ \circ },\) \(\angle \,A:\angle \,B = 1:2\) и \(AC = 8\sqrt 3 .\)
|
|
| Задача 16. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 17. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95°, 49°, 71°, 145°. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 18. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 19. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 20. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 21. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 22. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.
|
|
| Задача 23. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
|
|
| Задача 24. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 25. Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.
|
|
| Задача 26. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
|
|
| Задача 27. Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если боковые стороны равны 5, а основание 6.
|
|
| Задача 28. Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника, если боковые стороны равны 5, а основание 8.
|
|
| Задача 29. Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна \(8\sqrt 5 ,\) а радиус описанной окружности равен 10.
|
|
| Задача 30. По данным на рисунке найдите ВС, если АВ = 5, BD = 4 и ОС = 5.
|
 |
| Задача 31. По данным на рисунке найдите радиус описанной окружности OR, если QM = 5, QR = 10 и PQ = 12.
|
 |
| Задача 32. По данным на рисунке найдите радиус описанной окружности ОТ около трапеции KLMT, если LM = 12, KT = 16 и высота трапеции равна 2.
|
 |
| Задача 33. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если радиус окружности описанной около её равен 8, \(\angle \,BCA = {30^ \circ }\) и АС является биссектрисой угла BAD.
|
|
| Задача 34. По данным на рисунке найдите радиус описанной окружности ОМ около трапеции FKME, если КМ = 2, FE = 14 и FK = 10.
|
 |
| Задача 35. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.
|
|
| Задача 36. Радиус окружности описанной около остроугольного треугольника АВС равен 9. Найдите радиус окружности описанной вокруг треугольника МВК, если АК и СМ – высоты треугольника, а АС = 12 и МК = 4.
|
|
| Задача 37. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.
|
|
| Задача 38. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 14, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.
|
|