1.
\({x^2} + 16 \ge 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения, стоящего в левой части неравенства:
\({x^2} + 16 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} = -16\,.\)
Уравнение \({x^2} = -16\) не имеет решений.
Проверим знак неравенства на числовой прямой:
Таким образом, \(x \in \left( {-\infty ; + \infty } \right).\)
2.
\({x^2}-16 \le 0.\)
Воспользуемся формулой \({a^2}-{b^2} = \left( {a-b} \right)\left( {a + b} \right).\)
\({x^2}-16 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2}-{4^2} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {x-4} \right)\left( {x + 4} \right) \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения, стоящего в левой части неравенства:
\(\left( {x-4} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x-4 = 0,\\x + 4 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 4,\\x = -4.\end{array} \right.\)
Отметим на числовой прямой найденные корни. Так как знак неравенства нестрогий, то точки закрашенные. Расставим знаки в полученных интервалах:
Таким образом, \(x \in \left[ {-4;4} \right].\)
3.
\({x^2} + 16 \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения, стоящего в левой части неравенства:
\({x^2} + 16 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} = -16\,.\)
Уравнение \({x^2} = -16\) не имеет решений.
Проверим знак неравенства на числовой прямой:
Таким образом, это неравенство не имеет решений.
4.
\({x^2}-16 \ge 0.\)
Воспользуемся формулой \({a^2}-{b^2} = \left( {a-b} \right)\left( {a + b} \right).\)
\({x^2}-16 \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2}-{4^2} \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {x-4} \right)\left( {x + 4} \right) \ge 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения, стоящего в левой части неравенства:
\(\left( {x-4} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x-4 = 0,\\x + 4 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 4,\\x = -4.\end{array} \right.\)
Отметим на числовой прямой найденные корни. Так как знак неравенства нестрогий, то точки закрашенные. Расставим знаки в полученных интервалах:
Таким образом, \(x \in \left( {-\infty ;-4} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right).\)
Так как на рисунке \(x \in \left[ {-4;4} \right],\) то ответ под номером 2.
Ответ: 2.
