1.
\({x^2}-9 > 0.\)
Воспользуемся формулой \({a^2}-{b^2} = \left( {a-b} \right)\left( {a + b} \right).\)
\({x^2}-9 > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2}-{3^2} > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {x-3} \right)\left( {x + 3} \right) > 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения, стоящего в левой части неравенства:
\(\left( {x-3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x-3 = 0,\\x + 3 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 3,\\x = -3.\end{array} \right.\)
Отметим на числовой прямой найденные корни. Так как знак неравенства строгий, то точки выколотые. Расставим знаки в полученных интервалах:
Таким образом, \(x \in \left( {-\infty ;-3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).\)
2.
\({x^2} + 9 > 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения, стоящего в левой части неравенства:
\({x^2} + 9 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} = -9\,.\)
Уравнение \({x^2} = -9\) не имеет решений.
Проверим знак неравенства на числовой прямой:
Таким образом, \(x \in \left( {-\infty ; + \infty } \right).\)
3.
\({x^2}-9 < 0.\)
Воспользуемся формулой \({a^2}-{b^2} = \left( {a-b} \right)\left( {a + b} \right).\)
\({x^2}-9 < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2}-{3^2} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {x-3} \right)\left( {x + 3} \right) < 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения, стоящего в левой части неравенства:
\(\left( {x-3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x-3 = 0,\\x + 3 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 3,\\x = -3.\end{array} \right.\)
Отметим на числовой прямой найденные корни. Так как знак неравенства строгий, то точки выколотые. Расставим знаки в полученных интервалах:
Таким образом, \(x \in \left( {-3;3} \right).\)
4.
\({x^2} + 9 < 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения, стоящего в левой части неравенства:
\({x^2} + 9 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} = -9\,.\)
Уравнение \({x^2} = -9\) не имеет решений.
Проверим знак неравенства на числовой прямой:
Таким образом, это неравенство не имеет решений.
Так как на рисунке \(x \in \left( {-\infty ;-3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right),\) то ответ под номером 1.
Ответ: 1.
