Задача 59.Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) \({x^2}-49 > 0\) 2) \({x^2}-49 < 0\) 3) \({x^2} + 49 < 0\) 4) \({x^2} + 49 > 0\)
ОТВЕТ: 1.
1. \({x^2}-49 > 0.\) Воспользуемся формулой \({a^2}-{b^2} = \left( {a-b} \right)\left( {a + b} \right).\) \({x^2}-49 > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2}-{7^2} > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {x-7} \right)\left( {x + 7} \right) > 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения, стоящего в левой части неравенства: \(\left( {x-7} \right)\left( {x + 7} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x-7 = 0,\\x + 7 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 7,\\x = -7.\end{array} \right.\) Отметим на числовой прямой найденные корни. Так как знак неравенства строгий, то точки выколотые. Расставим знаки в полученных интервалах: Таким образом, \(x \in \left( {-\infty ;-7} \right) \cup \left( {7; + \infty } \right).\) 2. \({x^2}-49 < 0.\) Воспользуемся формулой \({a^2}-{b^2} = \left( {a-b} \right)\left( {a + b} \right).\) \({x^2}-49 < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2}-{7^2} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {x-7} \right)\left( {x + 7} \right) < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения, стоящего в левой части неравенства: \(\left( {x-7} \right)\left( {x + 7} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x-7 = 0,\\x + 7 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 7,\\x = -7.\end{array} \right.\) Отметим на числовой прямой найденные корни. Так как знак неравенства строгий, то точки выколотые. Расставим знаки в полученных интервалах: Таким образом, \(x \in \left( {-7;7} \right).\) 3. \({x^2} + 49 < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения, стоящего в левой части неравенства: \({x^2} + 49 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} = -49\,.\) Уравнение \({x^2} = -49\) не имеет решений. Проверим знак неравенства на числовой прямой: Таким образом, это неравенство не имеет решений. 4. \({x^2} + 49 > 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули выражения, стоящего в левой части неравенства: \({x^2} + 49 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} = -49\,.\) Уравнение \({x^2} = -49\) не имеет решений. Проверим знак неравенства на числовой прямой: Таким образом, \(x \in \left( {-\infty ; + \infty } \right).\) Так как на рисунке \(x \in \left( {-\infty ;-7} \right) \cup \left( {7; + \infty } \right),\) то ответ под номером 1. Ответ: 1. 
