ОГЭ по математике. №14 Задачи на геометрическую прогрессию. ФИПИ. Задача 9math100admin44242026-04-23T13:33:56+03:00
Задача 9. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 63 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
1 способ
Так как масса изотопа уменьшается вдвое каждые 9 минут, то через 9 минут его масса будет равна \(320 \cdot \dfrac{1}{2} = 160\) мг, через 18 минут \(160 \cdot \dfrac{1}{2} = 80\) мг, через 27 минут \(80 \cdot \dfrac{1}{2} = 40\) мг, через 36 минут \(40 \cdot \dfrac{1}{2} = 20\) мг, через 45 минут \(20 \cdot \dfrac{1}{2} = 10\) мг, через 54 минуты \(10 \cdot \dfrac{1}{2} = 5\) мг, через 63 минуты \(5 \cdot \dfrac{1}{2} = 2,5\) мг.
Ответ: 2,5.
2 способ
Так как масса изотопа уменьшается вдвое каждые 9 минут, то массы изотопа в данные моменты времени представляют собой геометрическую прогрессию со знаменателем \(q = \dfrac{1}{2}.\) Масса изотопа в начальный момент времени является первым членом геометрической прогрессии, то есть \({b_1} = 320.\) За 63 минуты масса изотопа уменьшится \(\dfrac{{63}}{9} = 7\) раз. Следовательно, масса изотопа через 63 минуты будет являться восьмым членом геометрической прогрессии. Восьмой член найдём по формуле n-го члена геометрической прогрессии: \({b_n} = {b_1} \cdot {q^{n-1}}.\)
\({b_8} = {b_1} \cdot {q^{8-1}} = 320 \cdot {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^7} = 320 \cdot \dfrac{1}{{128}} = 2,5.\)
Ответ: 2,5.