Задача 72. Биссектриса равностороннего треугольника равна \(13\sqrt 3 \). Найдите сторону этого треугольника.
1 Способ \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{x^2} = {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} + {\left( {13\sqrt 3 } \right)^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{x^2}-\dfrac{{{x^2}}}{4} = {13^2} \cdot 3\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{3{x^2}}}{4} = {13^2} \cdot 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} = {13^2} \cdot 4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 13 \cdot 2 = 26.\) Ответ: 26. 2 Способ \(\sin A = \dfrac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sin {60^ \circ } = \dfrac{{13\sqrt 3 }}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{13\sqrt 3 }}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AB = 2 \cdot 13 = 26.\) Ответ: 26.
Пусть в равностороннем треугольнике ABC отрезок BH биссектриса, который будем являться и высотой и медианой. Пусть стороны треугольника \(AB = BC = AC = x.\) Тогда \(AH = \dfrac{x}{2}.\) Для нахождения биссектрисы BH воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABH:
Пусть в равностороннем треугольнике ABC отрезок BH биссектриса, который будем являться и высотой и медианой. Тогда треугольник ABH будет являться прямоугольным. В равностороннем треугольнике все углы равны по \({60^ \circ }.\) Следовательно, \(\angle A = {60^ \circ }.\) Тогда по определению синуса в прямоугольном треугольнике ABH: