ОГЭ по математике. №15 Задачи из старой базы ФИПИ. Задача 11

Задача 11. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 12, CM = 18. Найдите AO.

Ответ

ОТВЕТ: 8.

Решение

Так как точки M и N середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно, то отрезки AN и CM являются медианами этого треугольника. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 относительно вершины, то есть \(AO = 2NO.\) Пусть \(NO = x,\) тогда \(AO = 2x.\) Так как \(AN = 12,\) то:

\(2x + x = 12\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,3x = 12\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 4.\)

Следовательно: \(AO = 2x = 2 \cdot 4 = 8.\)

Ответ: 8.