ОГЭ по математике. №15 Задачи из старой базы ФИПИ. Задача 20

Задача 20. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 12, CM = 36. Найдите MO.

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Решение

Так как точки M и N середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно, то отрезки AN и CM являются медианами этого треугольника. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 относительно вершины, то есть \(CO = 2MO.\) Пусть \(MO = x,\) тогда \(CO = 2x.\) Так как \(CM = 36,\) то:

\(2x + x = 36\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,3x = 36\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 12.\)

Следовательно: \(MO = x = 12.\)

Ответ: 12.