Задача 53. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, \(AC = 18,\) \(MN = 8.\) Площадь треугольника ABC равна 81. Найдите площадь треугольника MBN.
Решение
Так как \(MN\parallel AC,\) то \(\angle BMN = \angle BAC,\) \(\angle BNM = \angle BCA\) как соответственные при параллельных прямых MN и AC. Следовательно, треугольники MBN и ABC подобны по двум углам с коэффициентом подобия \(k = \dfrac{{AC}}{{MN}} = \dfrac{{18}}{8} = \dfrac{9}{4}.\) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно:
\(\dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{MBN}}}} = {k^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{81}}{{{S_{MBN}}}} = {\left( {\dfrac{9}{4}} \right)^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{81}}{{{S_{MBN}}}} = \dfrac{{81}}{{16}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{S_{MBN}} = \dfrac{{81 \cdot 16}}{{81}} = 16.\)
Ответ: 16.