Задача 55. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, \(AC = 24,\) \(MN = 18.\) Площадь треугольника ABC равна 48. Найдите площадь треугольника MBN.
Решение
Так как \(MN\parallel AC,\) то \(\angle BMN = \angle BAC,\) \(\angle BNM = \angle BCA\) как соответственные при параллельных прямых MN и AC. Следовательно, треугольники MBN и ABC подобны по двум углам с коэффициентом подобия \(k = \dfrac{{AC}}{{MN}} = \dfrac{{24}}{{18}} = \dfrac{4}{3}.\) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно:
\(\dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{MBN}}}} = {k^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{48}}{{{S_{MBN}}}} = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{48}}{{{S_{MBN}}}} = \dfrac{{16}}{9}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{S_{MBN}} = \dfrac{{48 \cdot 9}}{{16}} = 27.\)
Ответ: 27.