Задача 57. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, \(AC = 30,\) \(MN = 12.\) Площадь треугольника ABC равна 25. Найдите площадь треугольника MBN.
Решение
Так как \(MN\parallel AC,\) то \(\angle BMN = \angle BAC,\) \(\angle BNM = \angle BCA\) как соответственные при параллельных прямых MN и AC. Следовательно, треугольники MBN и ABC подобны по двум углам с коэффициентом подобия \(k = \dfrac{{AC}}{{MN}} = \dfrac{{30}}{{12}} = \dfrac{5}{2}.\) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно:
\(\dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{MBN}}}} = {k^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{25}}{{{S_{MBN}}}} = {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{25}}{{{S_{MBN}}}} = \dfrac{{25}}{4}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{S_{MBN}} = \dfrac{{25 \cdot 4}}{{25}} = 4.\)
Ответ: 4.