1 способ
Отрезки OC и OB являются радиусами окружности, то есть \(OC = OB\) и треугольник BOC равнобедренный. Следовательно, \(\angle OBC = \angle OCB = {78^ \circ }.\) Так как сумма углов треугольника равна \({180^ \circ },\) то:
\(\angle BOC = {180^ \circ }-\angle OBC-\angle OCB = {180^ \circ }-{78^ \circ }-{78^ \circ } = {24^ \circ }.\)
Углы AOD и BOC равны как вертикальные. Следовательно:
\(\angle AOD = \angle BOC = {24^ \circ }.\)
Ответ: 24.
2 способ
Угол AOB является центральным, так как О центр окружности, опирающимся на дугу AB.
Угол AСB является вписанным, так как вершины A, B и C лежат на окружности, опирающимся на дугу AB.
Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно:
\(\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot {78^ \circ } = {156^ \circ }.\)
Углы AOD и AOB являются смежными, сумма которых равна \({180^ \circ }.\) Следовательно:
\(\angle AOD = {180^ \circ }-\angle AOB = {180^ \circ }-{156^ \circ } = {24^ \circ }.\)
Ответ: 24.
Задача 14. Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 78°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.