1 способ
Углы AOD и BOC равны как вертикальные. Следовательно:
\(\angle AOD = \angle BOC = {108^ \circ }.\)
Отрезки OC и OB являются радиусами окружности, то есть \(OC = OB\) и треугольник BOC равнобедренный. Следовательно, \(\angle OBC = \angle OCB.\) Так как сумма углов треугольника равна \({180^ \circ },\) то:
\(\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = {180^ \circ }\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\angle OCB = {180^ \circ }-\angle BOC\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\angle OCB = {180^ \circ }-{108^ \circ }\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\angle OCB = {72^ \circ }\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\angle OCB = \dfrac{{{{72}^ \circ }}}{2} = {36^ \circ }.\)
Следовательно, \(\angle ACB = \angle OCB = {36^ \circ }.\)
Ответ: 36.
2 способ
Углы AOD и AOB являются смежными, сумма которых равна \({180^ \circ }.\) Следовательно:
\(\angle AOD = {180^ \circ }-\angle AOB = {180^ \circ }-{108^ \circ } = {72^ \circ }.\)
Угол AOB является центральным, так как О центр окружности, опирающимся на дугу AB.
Угол AСB является вписанным, так как вершины A, B и C лежат на окружности, опирающимся на дугу AB.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно:
\(\angle ACB = \dfrac{{\angle AOB}}{2} = \dfrac{{{{72}^ \circ }}}{2} = {36^ \circ }.\)
Ответ: 36.
Задача 27. В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.