1 способ
Угол ABN является вписанным, так как вершины A, B и N лежат на окружности, опирающимся на дугу AN.
Вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается. Следовательно:
\( \cup AN = 2\angle ABN = 2 \cdot {69^ \circ } = {138^ \circ }.\) (выделена красным цветом)
Так как AB является диаметром, то \( \cup ANB = {180^ \circ }.\) Тогда: \( \cup NB = {180^ \circ }- \cup AN = {180^ \circ }-{138^ \circ }.\) (выделена зелёным цветом)
Угол NMB является вписанным, так как вершины N, M и B лежат на окружности, опирающимся на дугу NB.
Вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается. Следовательно:
\(\angle NMB = \dfrac{{ \cup NB}}{2} = \dfrac{{{{42}^ \circ }}}{2} = {21^ \circ }.\)
Ответ: 21.
2 способ
Угол ANB является вписанным, так как вершины A, N и B лежат на окружности, опирающимся на диаметр AB. Следовательно, \(\angle ANB = {90^ \circ }.\)
Тогда в треугольнике ANB сумма острых углов равна \({90^ \circ }.\) Значит:
\(\angle NAB = {90^ \circ }-\angle NBA = {90^ \circ }-{69^ \circ } = {21^ \circ }.\)
Вписанные углы NAB и NMB опираются на дугу NB. Известно, что вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Следовательно:
\(\angle NMB = \angle NAB = {21^ \circ }.\)
Ответ: 21.
Задача 39. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что \(\angle NBA = {69^ \circ }.\) Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.