ОГЭ по математике. №16 Вписанные окружности. ФИПИ. Задача 111

ОТВЕТ: 14,4.

Пусть точка O – центр вписанной в ромб окружности, которая будет являться точкой пересечения диагоналей ромба, то есть серединой отрезка AC, а H – точка касания окружности со стороной BC. Тогда OH будет являться радиусом окружности и \(\angle OHC = {90^\circ }.\) Из прямоугольного треугольника OHC:

\({\rm{tg}}\angle OCH = \dfrac{{OH}}{{CH}} = \dfrac{4}{3}.\)

Пусть \(OH = 4x,\) тогда \(CH = 3x.\) Так как точка O является серединой диагонали AC, то \(OC = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{36}}{2} = 18.\) По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OCH:

\(O{H^2} + C{H^2} = O{C^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {4x} \right)^2} + {\left( {3x} \right)^2} = {18^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,16{x^2} + 9{x^2} = {18^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,25{x^2} = {18^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} = \dfrac{{{{18}^2}}}{{25}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \sqrt {\dfrac{{{{18}^2}}}{{25}}} = \dfrac{{18}}{5} = 3,6.\)

Следовательно, \(R = OH = 4x = 4 \cdot 3,6 = 14,4.\)

Ответ: 14,4.