ОГЭ по математике. №16 Вписанные окружности. ФИПИ. Задача 114

ОТВЕТ: 13,44.

Пусть точка O – центр вписанной в ромб окружности, которая будет являться точкой пересечения диагоналей ромба, то есть серединой отрезка AC, а H – точка касания окружности со стороной BC. Тогда OH будет являться радиусом окружности и \(\angle OHC = {90^\circ }.\) Из прямоугольного треугольника OHC:

\({\rm{tg}}\angle OCH = \dfrac{{OH}}{{CH}} = \dfrac{{24}}{7}.\)

Пусть \(OH = 24x,\) тогда \(CH = 7x.\) Так как точка O является серединой диагонали AC, то \(OC = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{28}}{2} = 14.\) По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OCH:

\(O{H^2} + C{H^2} = O{C^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {24x} \right)^2} + {\left( {7x} \right)^2} = {14^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,576{x^2} + 49{x^2} = {14^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,625{x^2} = {14^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} = \dfrac{{{{14}^2}}}{{625}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \sqrt {\dfrac{{{{14}^2}}}{{625}}} = \dfrac{{14}}{{25}} = 0,56.\)

Следовательно, \(R = OH = 24x = 24 \cdot 0,56 = 13,44.\)

Ответ: 13,44.