1 способ
Пусть окружность касается стороны AC треугольника ABC в точке K, а O центр окружности. Тогда OK будет являться радиусом вписанной окружности. Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис этого треугольника. Тогда AO является биссектрисой угла CAB и \(\angle OAK = {30^ \circ }.\) Так как треугольник равносторонний, то \(AK = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3} = 5\sqrt 3 .\) По определению тангенса из прямоугольного треугольника AKO:
\({\rm{tg}}\angle OAK = \dfrac{{OK}}{{AK}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,{30^ \circ } = \dfrac{{OK}}{{5\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{OK}}{{5\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,OK = 5.\)
Ответ: 5.
2 способ
Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними:
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \cdot \sin {60^ \circ } = \dfrac{1}{2} \cdot 10\sqrt 3 \cdot 10\sqrt 3 \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \)
\( = 5 \cdot 5 \cdot {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cdot \sqrt 3 = 25 \cdot 3\sqrt 3 = 75\sqrt 3 .\)
С другой стороны площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности:
\(p = \dfrac{{AC + AB + BC}}{2} = \dfrac{{3 \cdot 10\sqrt 3 }}{2} = 15\sqrt 3 .\)
\(S = p \cdot r\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,75\sqrt 3 = 15\sqrt 3 \cdot r\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,r = \dfrac{{75\sqrt 3 }}{{15\sqrt 3 }} = 5.\)
Ответ: 5.
Задача 82. Сторона равностороннего треугольника равна \(10\sqrt 3 .\) Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.