1 способ
Пусть окружность касается стороны AC треугольника ABC в точке K, а O центр окружности. Тогда \(OK = 9\sqrt 3 \) будет являться радиусом вписанной окружности. Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис этого треугольника. Тогда AO является биссектрисой угла CAB и \(\angle OAK = {30^ \circ }.\) По определению тангенса из прямоугольного треугольника AKO:
\({\rm{tg}}\angle OAK = \dfrac{{OK}}{{AK}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,{30^ \circ } = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{AK}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{AK}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AK = 9 \cdot 3 = 27.\)
Так как треугольник равносторонний, то \(AC = 2AK = 2 \cdot 27 = 54.\)
Ответ: 54.
2 способ
Площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности: \({S_{ABC}} = p \cdot r\), где \(p = \dfrac{{AC + AB + BC}}{2} = \dfrac{{3BC}}{2}.\)
С другой стороны площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними:
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \cdot \sin {60^ \circ }\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2} \cdot B{C^2} \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{B{C^2} \cdot \sqrt 3 }}{4}.\)
Тогда:
\(\dfrac{{B{C^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3BC}}{2} \cdot 9\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,BC = 2 \cdot 3 \cdot 9 = 54.\)
Ответ: 54.
Задача 92. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен \(9\sqrt 3 .\) Найдите длину стороны этого треугольника.