ОГЭ по математике. №16 Описанные окружности. ФИПИ. Задача 101

Задача 101. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину А, равен 2. Найдите площадь квадрат ABCD.

Ответ

ОТВЕТ: 3,2.

Решение

Пусть сторона квадрата равна \(2a.\) Тогда \(OC = \dfrac{{CD}}{2} = \dfrac{{2a}}{2} = a.\) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OBC:

\(O{C^2} + C{B^2} = O{B^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{a^2} + {\left( {2a} \right)^2} = {2^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{a^2} + 4{a^2} = {2^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,5{a^2} = 4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{a^2} = \dfrac{4}{5}.\)

Тогда площадь квадрата ABCD будет равна:

\({S_{ABCD}} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2} = 4 \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{{16}}{5} = 3,2.\)

Ответ: 3,2.