ОГЭ по математике. №16 Описанные окружности. ФИПИ. Задача 102

Задача 102. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину А, равен . Найдите площадь квадрат ABCD.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Пусть сторона квадрата равна \(\sqrt 5 a.\) Тогда \(OC = \dfrac{{CD}}{2} = \dfrac{{\sqrt 5 a}}{2}.\) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OBC:

\(O{C^2} + C{B^2} = O{B^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{{\sqrt 5 a}}{2}} \right)^2} + {\left( {\sqrt 5 a} \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\dfrac{{5a}}{4}^2} + 5{a^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{25{a^2}}}{4} = 5\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{a^2} = \dfrac{{20}}{{25}} = \dfrac{4}{5}.\)

Тогда площадь квадрата ABCD будет равна:

\({S_{ABCD}} = {\left( {\sqrt 5 a} \right)^2} = 5{a^2} = 5 \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{{20}}{5} = 4.\)

Ответ: 4.