ОГЭ по математике. №16 Описанные окружности. ФИПИ. Задача 106

Задача 106. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину А, равен 5. Найдите площадь квадрат ABCD.

Ответ

ОТВЕТ: 20.

Решение

Пусть сторона квадрата равна \(5a.\) Тогда \(OC = \dfrac{{CD}}{2} = \dfrac{{5a}}{2}.\) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OBC:

\(O{C^2} + C{B^2} = O{B^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{{5a}}{2}} \right)^2} + {\left( {5a} \right)^2} = {5^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\dfrac{{25a}}{4}^2} + 25{a^2} = {5^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{125{a^2}}}{4} = 25\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{a^2} = \dfrac{{100}}{{125}} = \dfrac{4}{5}.\)

Тогда площадь квадрата ABCD будет равна:

\({S_{ABCD}} = {\left( {5a} \right)^2} = 25{a^2} = 25 \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{{100}}{5} = 20.\)

Ответ: 20.