ОГЭ по математике. №16 Описанные окружности. ФИПИ. Задача 107

Задача 107. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину А, равен 1. Найдите площадь квадрат ABCD.

Ответ

ОТВЕТ: 0,8.

Решение

Пусть сторона квадрата равна \(a.\) Тогда \(OC = \dfrac{{CD}}{2} = \dfrac{a}{2}.\) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OBC:

\(O{C^2} + C{B^2} = O{B^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} + {a^2} = {1^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\dfrac{a}{4}^2} + {a^2} = {1^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{5{a^2}}}{4} = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{a^2} = \dfrac{4}{5}.\)

Тогда площадь квадрата ABCD будет равна:

\({S_{ABCD}} = {a^2} = \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{{10}} = 0,8.\)

Ответ: 0,8.